MİNKOWSKİ DİYAGRAMI VE ÖZEL GÖRELİLİK BÖLÜM I

1908 yılında, Hermann Minkowski tarafından geliştirilen, özel göreliliğin kapsadığı uzay ve zaman profilini açıklamada ve gösterimlemede inanılmaz derecede başarılı olan diyagramdır. Diyagramın dinamiğinden ötürü, sadece bir boyutlu hareketleri gösterimler. Okunması ve kullanması, oldukça basit ve mantığa dayalı bir diyagram çeşididir. Diyagramın nasıl okunacağına, nasıl gözlemciye rölatif çalıştığına, ardından da özel göreliliğe ufak bir bakış atacağız.
Bu külliyata girişmeden önce, diyagramın dinamiğini anlamak için, alegori maiyetinde, sadece diyagramın işleyiş prensibi ile, basit örnekleri inceleyeceğiz. Altta gösterimlenen diyagram, Minkowski diyagramı ile aşağı yukarı aynı karekteristik yapıya sahiptir. Diyagramın ordinatı “t”, yani zamanı göstermektedir. Apsisi “x” ise, hareketi tanımlamaktadır. Yani, hareket sadece apsislerde, bir boyutta gerçekleşmektedir. Sağa yahut sola. Bu dinamiğe aslına bakarsanız, oldukça alışkınız. Hız-zaman, konum-zaman, ivme-zaman gibi klasik fizik gösterimleri de-aşağı yukarı-aynı mantık ile işlemektedir.
Görsel 1_Normal bir konum-zaman grafiğinden farkı, “t” ve “x” eksenlerinin değişik yerlerde olmasıdır. Pekala o zaman, bu diyagram nasıl işliyor? Sabit bir cismimiz olduğunu varsayalım. Diyagramımız, metrik sistem ile, saniye biriminden işlem görsün. Cisim, t=0’da, başlangıç konumundan 1 metre uzakta, 2 saniye kadar sabit dursun. Bu, grafikte aşağıdaki gibi gözükecektir. Mekan ve zaman, sonsuz tanımlandığı üzere apsis ve ordinat istenildiği kadar uzatılabilir. Görünüşü, ters çevrilmiş bir konum-zaman grafiğinden farksızdır.
Görsel 2_
 
Başka bir cisim için, t=0’dan itibaren, 1 m/s hızda, pozitif yönde ilerlediği söylenirse, üç saniyelik zaman diliminde ortaya çıkacak olan grafik nasıl görünecektir? Pek şaşırtıcı olmasa gerek. Zira, diyagramın çalışma prensibi, oldukça basit ve sadedir.
Görsel 3_
İvmeli hızlarda da grafik, tahmin edileceği gibi eğri bi hal almaktadır. Zira ikinci katedilen mesafe, ilk mesafenin misli olacaktır. Hız, birim saniye başına katedilen mesafe ise ivme, birim zamanda hızdaki değişimdir. Bu yüzden mesafeye yansıyan etki, misliyle katlanarak yansır. Bu yüzden konum-zaman eğri, hız-zaman artan bir doğru ve ivme de sabit bir artış olduğu üzere, paralel bir doğru olarak gösterilir.
Minkowski diyagramının dinamiği oturduğuna göre, şimdi diyagrama girişebiliriz. Diyagramın, t ordinatı ile x apsisi, birbiri ile bağlantılı artış ve azalış göstermektedir. Zira diyagram, ışık hızına yakın hızlardaki görelilik etkisini açıklamak için kullanılmaktadır. Akabinde, zaman ile mesafenin bir kullanılması için de bu şekilde yapılmaktadır fakat, oraya daha sonra değineceğiz.
Örnek olarak, Minkowski diyagramımızın, zaman ordinatı birim saniye olarak belirlenmişse, apsis 3×10^8 (ışığın bir saniyede katettiği mesafe) birimine bölünecektir. Bu sayede, vakum ortamda ilerleyen foton, grafikte 45 derecelik bir açı sağlayacaktır. Bu etki karşımıza, “zaman konisi” olarak geri dönecektir. Foton doğrusundan daha dar açıya sahip hiçbir doğru olamaz. Zira, oluşan açı ne kadar darsa, hız o kadar artıyordur. Açı sınırımız ise, c doğrusunun açısı kadardır yani, 45 derece.
Görsel 4_
Işık hızında, birçok anomalinin başgösterdiğini biliyoruz. Bu anomalilerin günlük hayattaki hızlarda gerçekleşmemesini, ışık hızının inanılmaz yüksek değerine veriyoruz. Bu etkiyi, Minkowski diyagramında da görebiliriz. Saniyede 100 m/s hızda ilerleyen bir cismin konum değişiminin doğrusu, t ordinatıyla neredeyse bitişik olacaktır. Aradaki bu devasa açı ve alan farkı, etkilerin ne kadar görmezden gelinebilir olduğunu, görsel olarak bize gösteriyor.
Işık hızının diyagramda nasıl gösterildiğini gördük. Aynı, önceki gösterimlerimizdeki gibi, (mesela) 0.5c, yani ışık hızının yarısı, birim metrik gösterimlerimizin simetrik olarak bölünmesiyle elde ediliyor. Tahmin edileceği üzereyse, 0.5c < 1c olduğu için açısı, daha büyük olacaktır. 0.5c ile seyahat eden bir cismin doğrusu, 67.5 derecelik bir açı yapacaktır. Işık hızından daha hızlı gidilmediği gibi, şimdiki gözlemlerimiz ve tahminlerimizce, hiçbir doğru x apsisine doğru “geri” eğim de yapamaz. Zira bu, zamanda negatif yönlü bir hareketin göstergesidir.
Minkowski diyagramı, klasik fizikte işleyen referans sistemlerince de kolayca irdelenebilir. Mesela, uzay boşluğunda sabit bir cismi referans çerçevesi alarak bir diyagram çizelim. Referans çerçevemiz, x=0 olarak alınırsa, onun doğrusu, t ordinatının birebir teğeti olacaktır. Pekala, bu sabit cisme rölatif olarak a ve b cisimlerimiz hareket etsinler. Referans cismine göre pozitif yönde a cismi, 1c’de, yani 3×10^8 metre/saniyede hareket etsin. b cismi ise, 0.5c’de yani, 1.5×10^8 metre/saniyede hareket etsin. Bu cisimler, sabit referans cismimize göre aşağıdaki diyagramdaki gibi olacaktır. Referans cismi, t ordinatının teğeti olduğu için, zamanda yahut mekanda hiçbir değişim gözlemlenmez.
Görsel 5_
a ve b cisimleri, sabit hızda ilerlemektedir. Bu iki cisim, t=0’da, referans cismi ile aynı noktadalardı. Bu sayede, t=0, x=0 şeklinde harekete başlama olanağına sahip oldular. Tam bu anda, b cisminin referans sistemine geçelim. Peki, bunu nasıl yapacağız? X apsisine bir teğet çizeceğiz. Bu teğet, b cisminin referans sisteminde, metrik sistemi belirleyecek. Ayrıca, b cisminin doğrusuna da bir teğet çizerek t’ diyelim. Bu t’ ve x’ b cisminin referans sistemini oluşturacaktır. Bu çıkarımı yaparken, yeni bir diyagram çizmeye gerek yok, önceki diyagram üzerine çizerek karşılaştırmalar yapabiliriz. b cisminin referans sistemi r’, yukarıdaki diyagramı çizdiğimiz sistem ise r olsun. Sabit cismimize göre çizilen diyagramda, koordinat alınmak istenirse, ordinat ile apsis arasındaki “olaylar boşluğunda” seçilen noktadan, ilk olarak ordinata paralel çizilen çizginin, apsiste kestiği yer, sonra da nokta ile ordinat arasında apsise paralel çizilen çizginin ordinatta kestiği yer belirlenerek yazılır. Sabit referans sistemindeki doğru, daha önceden bildiğimiz gibi dik bir doğrudur. Bu yüzden, apsisten yukarıya çekilecek her çizgi, doksan derecelik açıya sahip olacaktır. Fakat, r’ için aynısı geçerli değil. Zaman ordinatı, eğik olduğu üzere, olaylar boşluğundaki bir noktadan apsise indirilecek bir doğru, t’ ordinatına tamamen bir paralellik içermek zorundadır. Olaylar boşluğunda belirlenen bir y noktası için, iki referans sistemine göre de bir koordinat bulma çalışması yapalım.
Görsel 6_
Zaman, x apsisine paralel olduğu üzere herhangi bir değişim gözlenlenmedi. Bu yüzden, t’ = t, t =t’ gibi bir durum söz konusu. Fakat konum için, aynısı geçerli değildir. Belirlenen nokta, bulunduğu eksende hareket ettikçe, r ve r’ referans sistemleri arasında bir fark yaratacaktır. Bu fark da, görseldeki denkliği doğurmaktadır. Yani, x’ ile x arasındaki fark, bahsedilen nokta ile gözlemci arasındaki mesafeden doğmaktadır. r referans sistemi, mesela Ay yüzeyindeki bir astronot olsun. Bu astronota göre, y noktası (t=0) 4.5×10^8 metre uzaklıkta yer alıyor. Fakat b cismi için aralarındaki uzaklık 3×10^8 metre. Pekala, bu iki değerin birbirine sistematik dönüşümü nasıl olacak? İlk olarak, denkliği kurmak için x’ değerimizi yerleştirip, ona eşit olan x değerini karşı tarafa atalım. Bu durumda, x’ = x-v.t sonucunu buluyoruz. Buradaki “v”, hareketli referans sisteminin (r’) rölatif hızıdır. Yani, 3×10^8 = 4.5×10^8 – 0.5cx1s zira, noktanın belirdiği zaman, birinci saniye, r’ sistemi 0.5c’de sabit bir hıza sahip. Sadece o anlığına ulaşacağımız sonuç budur. Üçüncü saniyede b cismi, y noktasına ulaşarak aralarındaki mesafeyi 0 metreye düşürecektir. Fakat r sistemi için mesafe hala 4.5×10^8 metre kalacaktır. Bu durumda, y noktası r’ sistemine göre hareketlidir. Pekala, y noktası da b cismi ile aynı hıza sahip olsaydı, birbirleriyle rölatif olarak sabit kalacaklardı. Bu durumda, y noktası r sisteminden giderek uzaklaşırken, b cismine sürekli aynı uzaklıkta kalacaktı.
Şu ana kadar Newton fiziğini kullanarak geldik ve hatta Galile dönüşümlerini kullandık. Pekala, yukarıdaki grafikte bir şey farkettiniz mi? a cismi, 1c’de seyrediyor, yani ışık hızında. Sabit referans sistemi için, ilk saniyede 3×10^8, ikinci saniyede 6×10^8 metre mesafe katetmiş oluyor. Peki ya, r’ sistemi için? c cisminin 2. saniyede katettiği mesafeyi, ilk olarak r sistemi için alalım:
t = 2
x = 6×10^8 m, peki ya r’ sistemi için?
t’ = 2
x’ = 3×10^8, görüldüğü üzere, salt Galile dönüşümleri bize yanlış sonuç verdi. Işık, sabittir ve her referans noktasına aynı hız skalerini yansıtır. Fakat r’ referans noktasına göre a cismi, 0.5c’de ilerlemektedir. Bu etkiyle, günlük yaşantımızda da karşılaşmaktayız. Arabada 50 km/saat hızla ilerlerken, önümüzdeki 60 km/saatte ilerleyen araba bize sadece 10 km/saat hızda ilerliyormuş gibi görünür.
Bir uzay konvoyu düşünelim. Konvoydaki uzay gemilerinin arası, 3×10^8 metre. Bu konvoy, sabit hızla t=0’da yanımızdan geçiyor. 0.5c’de ilerliyorlar. Biz, durmaktayız. Bu konvoyda, yanımızdan geçmeden bir saniye önce, uzay gemilerinden birince karşı gemiye lazer tutuluyor. Karşıdaki geminin arkasında da bir ayna bulunuyor. Bu lazer, aynadan sekip, lazerli gemiye geri dönüyor. Bu durumun, lazer gönderilen gemiye rölatif Minkowski diyagramını çizelim.
Görsel 7_
Sabit hızda hareket eden bir referans olduğu üzere geminin konumu, diyagramda t’ ordinatına teğettir. Bu yüzden diyagram, yukarıdaki şekli almıştır. Işık, bir saniyede katettiği mesafeyi bir saniyede alarak, iki saniyelik bir yolculuk yaşamıştır. Oldukça sade ve simetrik bir diyagramla karşı karşıyayız. Pekala, aynı olayın bize rölatif diyagramı nasıl olacaktır? Galile dönüşümlerinin ışık hızında işe yaramadığını biliyoruz. Bu yüzden, x ve t eksenleri, x’ ve t’ eksenlerinin direkt teğeti olmayacak. Işık hızına yaklaştıkça zamanda ve mekanda yaşanan değişimleri biliyoruz. Bu bilgimize bir de, zamanı da mesafe ile ölçebileceğimiz bilgisi eklendiği zaman, t’ ve x’ eksenlerinin, bizim referans sistemimize nasıl duracaklarını, az çok tahmin etmiş olabilirsiniz.
Görsel 8_
t’ tahmin edileceği gibi, önceki açısı ile aynı eğriye sahip bir konuma yerleştirildi. Fakat x’ bu sefer, çok daha farklı bir konuma yerleşti, nasıl oldu bu? t’ aynı açı ile yerleştilidiği zaman, fotonun doğrusu, x apsisi ile 45 derecelik açı yapacak şekilde çizildi. Ardından, önceki grafikte kalan kırılma noktasındaki aynı açıya sahip olunacak şekilde doğru geri kırıldı. Bu, x’ için ilk tanımlayıcı nokta oldu. Ardından, uzay konvoyunun bizi geçtiği an olan t=0 noktası da belirlenerek, bu iki nokta arasına x’ ekseni çizildi. Fakat bu sefer, oldukça garip bir durum ortaya çıktı, uzay konvoyu bizi geçerken, gönderilen lazer aynadan sekiyordu. Ama bu diyagramda bizim referans sistemimize göre, y noktası pozitif bir değere sahip. Yani bize göre, lazer konvoy bizi geçtikten sonra aynadan sekiyor. Pekala, bu durum nasıl gerçekleşiyor?
Bir sonraki yazımızda, bu anomaliyi işleyecek ve zamanı, mekan birimleriyle ölçmeye başlayacağız. Zira “uzay zaman”, birleşik bir dokudur ve iki “birleşik” dokuyu ayrı birimlerle ölçmek, ileriki adımlarımızda bizi uğraştıracaktır. Minkowski diyagramlarına girdik ve matematiğiyle, mantığını oturttuk. Galile dönüşümlerinin neden işe yaramadığını görselledik ve zamanın hızdan hıza neden rölatif olduğuna ufak bir ışık yaktık. Uzay zamanın büyüleyici doğasını, matematik ile yansıtmaya devam edeceğiz.

Dünya Üzerindeki Sular Yer Değiştiriyor

Enerji İletiminde Virüslerden Yararlanılabilir