İntegral – Sonsuza Giden Toplam. İntegral Tarihi ve Kullanım Alanları

Lisede, üniversitede birçok kişinin adını duyduğunda bile korktuğu bir konudayız. İntegral. Aslında sadece basit bir fonksiyonun integralini neden alırız ki.? Hayatta karşımıza nerede çıkacak.? Nerede kullanacağız.? Demeyin sakın. Yoksa Newton bize çok kızar.

İçindekiler

İntegral Nedir?Bunlar da ilginizi çekebilir:

Aslında integral basit olarak toplama işlemi. Yoksa üssü bir arttırıp arttırdığın sayıya bölmede ne gibi bir mantık olabilir ki.? (xkare’nin integrali x3 / 3 gibi) Basit düşünelim 2 elmamız varken 2 elmamız daha olursa 4 elma olur. İntegral aslında budur.

İntegral

Fakat farkı şurada; Biz bu elmaların yüzey hacimlerini, ya da boyutlarını toplamak istersek.? Veya bir kabın içindeki suyun hacmini bilmek istersek.? Basit bir uygulama yapalım. Elinize bir kağıt ve kalem alın. Ve 2 boyutlu düzlemde (x ve y koordinat sisteminde) bir eğri çizin.

Çizdiğiniz eğri sinüs grafiğinin bir periyoduna benzerse anlamanız açısından daha iyi olacaktır. Bu eğriyi çizdikten sonra altında kalan alanı nasıl bulursunuz.?

Cevap: İntegral. Aslında bu soru bizi basitçe “Kare gibi düzgün şekillerin alanları ya da hacimleri belirli formüllerle hesaplanır. Ama düzgün değilse devreye integral girer.” İfadesine götürür.

İntegral Nedir?

Türk Dil Kurumu’nun sözlüğündeki tanıma göre “parçalardan oluşmuş bütün” anlamına gelir.

Tanım olarak integral ise, belli bir aralıktaki toplam değişimi ya da biriken değişim miktarını ifade etmek için kullanılır. Kelime kökeni olarak ise Latince’de toplam kelimesinden (“summa”) gelmektedir ve s harfine benzetilen bir sembol ile gösterilmektedir. (∫)

Konu ile ilgili ilk düşünceler MÖ 200 ’lerde Arşimet ’ten ve 17.yy ’da Fermat ’dan geldi. İngiltere’de Newton ve Almanya’da Leibniz birbirlerinden bağımsız olarak bu kavramların temellerini attılar. Böylece Kalkülüs kavramı oluşmaya başladı ve beraberinde onun temelini oluşturan türev ve integral de kümülatif olarak ilerlemeye devam etti.

Bazı bilimcilere göre ise bu konu hakkındaki ilk keşifleri 1635 yılında İtalyan matematikçi Cavalieri attı.

Arşimet’in en parlak matematik başarılarından biri de, eğri yüzeylerin alanlarını bulmak için bazı yöntemler geliştirmesidir. Bir parabol kesmesini dörtgenleştirirken sonsuz küçükler hesabına yaklaşmıştır. Sonsuz küçükler hesabı, bir alana tasavvur edilebilecek en küçük parçadan daha da küçük bir parçayı matematiksel olarak ekleyebilmektir.

Bu hesabın çok büyük bir tarihi değeri vardır. Sonradan modern matematiğin gelişmesinin temelini oluşturmuş, Newton ve Leibniz’in bulduğu diferansiyel denklemler ve integral hesap için iyi bir temel oluşturmuştur.

Arşimet, Parabolün Dörtgenleştirilmesi adlı kitabında, tüketme metodu ile bir parabol kesmesinin alanının, aynı tabana ve yüksekliğe sahip bir üçgenin alanının 4/3’üne eşit olduğunu ispatlamıştır.

Günlük hayatımızda hemen hemen her yerde integrali görmek mümkündür. Gökdelenlerin, köprülerin inşaasında integral kullanılır. Yükseklere çıkıldıkça ortaya çıkan hava basıncı, yüzeye yaptığı etki integralile hesaplanır.

Ekonomistler sürekli farklı farklı parasal eğrilerle uğraşırlar. Bu eğriler en doğru anlatımı integral sayesinde yapar. Ya da çok çok ilginizi çekecek bir şeyden bahsedeyim. Herhangi bir markete gittiğinizde meşrubat dolapları görürsünüz.

İçerisinde su, kola, süt vb. meşrubatlar vardır. Mesela bir maden suyu şişesi tam bir mühendislik harikasıdır. Çünkü o şişe tasarlanırken rafa maksimum sayıda sığması, minimum yer kaplaması amaçlanır. İntegral olmasaydı bu hesap yapılamazdı.